Morbleu !

« Démocratie » : étymologiquement, « le pouvoir dans le peuple » ; selon le mot de Lincoln, « le gouvernement du peuple, par le peuple, pour le peuple ». Un vain mot ? C’est pourtant sur son paradigme que nos sociétés tâchent de se bâtir. Le Contrat social de Rousseau prétendait libérer l’homme en soumettant sa volonté particulière à la volonté générale s’exprimant dans les suffrages. « Quand on propose une loi dans l’assemblée du Peuple […] ; chacun en donnant son suffrage dit son avis là-dessus, et du calcul des voix se tire la déclaration de la volonté générale. Quand donc l’avis contraire au mien l’emporte, cela ne prouve pas autre chose sinon que je m’étais trompé, et que ce que j’estimais être la volonté générale ne l’était pas. [1] »

La démocratie est fragile en bien des points, à commencer par l’organisation des suffrages. Avant même qu’il soit question de bourrer les urnes ou de faire voter les morts, il faut en effet remarquer que la simple façon de comptabiliser les votes possède une importance déterminante. Organiser un scrutin, à un tour ou à deux tours, voter à la proportionnelle ou à la majorité, autoriser un seul ou au contraire plusieurs noms sur les bulletins de vote, permettre de classer ou non les candidats par ordre de préférence : de telles décisions axiomatiques ont une incidence majeure qui parfois est sous-évaluée. Pour des mêmes scores, des résultats différents. L’algorithme choisit pour décider du gagnant d’une élection fait davantage l’élection que les électeurs eux-mêmes.

Face à des choix de programmes, de doctrines et de partis, face à plusieurs candidats devant représenter à la fois des idées et le peuple, les électeurs établissent implicitement une classification. On préfère tel individu particulier à un autre, tout en préférant cet autre individu à un autre autre, et ainsi de suite. Un classement des candidats est établi de façon sous-jacente, qui hiérarchise strictement les choix entre eux. Mais ce classement reste invisible : on n’en voit que ce que l’organisation des suffrages veut bien laisser apparaître. La vraie structure relationnelle des choix reste immergée derrière les résultats de suffrages qui la rende tangible, mais qu’en partie.

Imaginons ainsi quelques cinq candidats et candidates se disputant âprement et affreusement, cherchant à se distinguer et à se positionner en des lieux bien précis de l’espace politique : Alfred, Bérénice, Christobal, Donatienne et Édouard [2]. Après une campagne aussi mouvementée qu’elliptique, faite de coups bas et d’envolées idéologiques, les 29 millions d’électeurs ont abouti aux classements des choix suivants :

Le hasard fait vraiment bien les choses : les 29 millions de futurs électeurs n’ont formé que 5 classements différents, alors qu’il y en a en fait 120 possibles. [4] Mais tels sont en tout cas les choix implicitement formés par tous ces électeurs virtuels ; mais ceux-là ne se sont pas encore exprimés par la voie des urnes ; il s’agit maintenant d’organiser le scrutin le mieux possible afin que la fameuse « volonté générale » libératrice puisse émerger à partir de ces classements implicites et puisse s’incarner en un seul candidat. Plusieurs solutions, mais un candidat gagnant différent pour chacune. Des systèmes tous justes en apparence, mais qui ne permettent pas, précisément, de faire l’unanimité.

1. Scrutin uninominal majoritaire à un tour. On n’autorise qu’un seul nom sur le bulletin, et on ne fait qu’un seul tour. Le gagnant est simplement celui qui obtient le plus de suffrages, même s’il n’obtient pas la majorité absolue (plus de 50% des voix). Ici, le vainqueur serait Édouard, puisque 10 millions d’électeurs l’ont placé en premier choix de leur classement, bien devant tous les autres, quand bien même il n’aurait rassemblé que moins d’un tiers des voix, les 19 millions d’autres électeurs le plaçant bien plus loin dans leurs classements.
2. Scrutin uninominal majoritaire à deux tours. Le système précédant étant imparfait, on peut souhaiter le réformer pour un système similaire à celui utiliser lors de l’élection présidentielle française, en organisant un second tour où s’affrontent les deux candidats les mieux placés lors du premier. Nous aurions alors un second tour qui feraient s’affronter Alfred (8 millions d’électeurs) et Édouard (10 millions). Reprenant nos classements de préférences, on peut déduire par élimination les hiérarchies suivantes lors du second tour − ce qui correspond peu ou prou à ce que l’on nomme le « report de voix » :
   

   Classements sous-jacents pour les deux choix les mieux placés
   Classements	Nombre de citoyens
   E > A	10 millions
   A > E	8 millions
   A > E	5 millions
   A > E	4 millions
   A > E	2 millions

   Soit, 10 millions d’électeurs pour Édouard et 19 millions pour Alfred, qui est notre vainqueur dans ce système.

3. Vote alternatif. On peut souhaiter faire plusieurs tours, et à chacun éliminer le candidat le plus mal placé (comme dans l’émission Top Chef, qui enchaîne les votes jusqu’à la fameuse et terrible épreuve de la « dernière chance »). Nous aurions alors tour à tour les résultats suivants :
   

   1^er tour : Édouard (10 millions) ; Alfred (8 millions) ; Christobal (5 millions) ; Donatienne (4 millions) ; Bérénice (2 millions d’électeurs, qui est donc éliminée).
   2^ème tour : Édouard (10 millions) ; Alfred (8 millions) ; Christobal (7 millions) ; Donatienne (4 millions, qui s’en va rejoindre Bérénice).
   3^ème tour : Christobal (11 millions) ; Édouard (10 millions) ; Alfred (8 millions, le vainqueur du deuxième système, qui nous quitte également).
   4^ème tour : Christobal (19 millions d’électeurs) ; Édouard (10 millions, le vainqueur du premier système).

   Le vainqueur est donc en définitive Christobal.

4. Méthode Borda. Jean-Charles de Borda, mathématicien contemporain du grand Condorcet, jugeait la méthode de ce dernier trop compliquée à mettre en œuvre, et proposa un système de pondération des votes. Chaque électeur exprime le classement de ses choix, et 5 points sont attribués pour les premières places, 4 points pour la deuxième, et ainsi de suite (un peu à la manière de l’Eurovision ou du Championnat du Monde de Formule 1). Nous aurions alors les sommes suivantes :
   

   Méthode Borda
   Candidats	Nombres de points
   Donatienne	4 * 10 + 3 * 8 + 2 * 5 + 5 * 4 + 3 * 2 = 40 + 24 + 10 + 20 + 6 = 100 millions
   Bérénice	3 * 10 + 4 * 8 + 3 * 5 + 3 * 4 + 5 * 2 = 30 + 32 + 15 + 12 + 10 = 99 millions
   Christobal	2 * 10 + 2 * 8 + 5 * 5 + 4 * 4 + 4 * 2 = 20 + 16 + 25 + 16 + 8 = 85 millions
   Alfred	1 * 10 + 5 * 8 + 4 * 5 + 2 * 4 + 2 * 2 = 10 + 40 + 20 + 8 + 4 = 82 millions
   Édouard	5 * 10 + 1 * 8 + 1 * 5 + 1 * 4 + 1 * 2 = 50 + 8 + 5 + 4 + 2 = 69 millions

   Cette fois-ci, nous avons comme vainqueur Donatienne.

5. Méthode Condorcet. Pour tout un ensemble de raison tenant à la résolution du paradoxe de Concorcet, on optera pour ce système consistant à comparer chaque candidat aux autres afin de déterminer qui l’emporte. Combien d’électeurs préfèrent tel candidat à tel autre ? Le candidat préféré à tous les autres candidats est le vainqueur. La méthode est plutôt laborieuse. Voici les comptes :
   

   Méthode Condorcet
   Préférences	Nombres d’électeurs (millions)
   A > B	8 + 5 = 13
   A > C	8
   A > D	8 + 5 = 13
   A > E	8 + 5 + 4 + 2 = 19
   B > A	10 + 4 + 2 = 16
   B > C	10 + 8 + 2 = 20
   B > D	8 + 5 + 2 = 15
   B > E	8 + 5 + 4 + 2 = 19
   C > A	10 + 5 + 4 + 2 = 21
   C > B	5 + 4 = 9
   C > D	5 + 2 = 7
   C > E	8 + 5 + 4 + 2 = 19
   D > A	10 + 4 + 2 = 16
   D > B	10 + 4 = 14
   D > C	10 + 8 + 4 = 22
   D > E	8 + 5 + 4 + 2 = 19
   E > A	10
   E > B	10
   E > C	10
   E > D	10

   Ceci connu, il s’agit maintenant de faire des duels entre chaque paires.

   Alfred ne gagne qu’un seul duel, face à Édouard :

   13 millions d’électeurs préfèrent A > B contre 16 millions, B > A → B > A
   8, A > C ; 21, C > A → C > A
   13, A > D ; 16, D > A → D > A
   19, A > E ; 10, E > A → A > E

   Bérénice gagne en revanche tous ses duels :

   16, B > A ; 13, A > B → B > A
   20, B > C ; 9, C > B → B > C
   15, B > D ; 14, D > B → B > D
   19, B > E ; 10, E > B → B > E

   Christobal ne gagne que face à Édouard et Alfred :

   21, C > A ; 8, A > C → C > A
   9, C > B ; 20, B > C → B > C
   7, C > D ; 22, D > C → D > C
   19, C > E ; 10, E > C → C > E

   Donatienne ne perd que face à Bérénice :

   16, D > A ; 13, A > D → D > A
   14, D > B ; 15, B > D → B > D
   22, D > C ; 7, C > D → D > C
   19, D > E ; 10, E > D → D > E

   Édouard perd en revanche tous ces duels [5] :

   10, E > A ; 19, A > E → A > E
   10, E > B ; 19, B > E → B > E
   10, E > C ; 19, C > E → C > E
   10, E > D ; 19, D > E → D > E

   C’est donc Bérénice qui est élue suivant ce système, car la candidate préférée à tous les autres candidats.

La « volonté générale », cette entité allant presque de soi pour Rousseau et ses suiveurs, s’avère ainsi difficile à cerner : chaque candidat est tout aussi légitime que les autres pour être élu, suivant la façon dont on autorise la volonté générale à s’exprimer. La volonté générale veut en fait tout et son contraire. Fonder la démocratie sur de telles conceptions pourrait bien être chimérique : donner l’illusion au peuple que les lois et institutions ont bien pour cause sa seule volonté. Ce sont de telles constatations qui aboutirent à la formulation du « théorème d’impossibilité d’Arrow ». La démocratie parfaite n’existe pas, et ceux qui en promettent une sont des imposteurs feignant d’ignorer que ce qui sort des urnes n’est pas que la voix du peuple, mais la voix du peuple s’exprimant suivant une certaine modalité. Si bien qu’en réformant judicieusement les systèmes de vote utilisés, la France pourra peut-être un jour gagner à nouveau le merveilleux concours de l’Eurovision [6], et avoir Jacques Cheminade pour président.

P.S. : Puisqu’il faut rendre à César les hommages qui lui reviennent, signalons que l’idée de ce billet est due à la malheureusement défunte émission Archimède qui passait naguère sur ARTE.

________________________
[1] Rousseau, « Des suffrages », Du contrat social, IV, II.
[2] Les prénoms et sexes ont été changés pour protéger l’anonymat des candidats.
[3] Nos candidats ont, comme par hasard, chacun pour initiale l’une des premières lettres de l’alphabet, ce qui simplifie bougrement bien les choses.
[4] Et oui : le nombre de façon d’arranger un ensemble est égal à la factorielle de la cardinalité de celui-ci, c’est à dire 5!. Nous avons 29 millions d’électeurs ; la probabilité que ceux-là ne produisent que 5 classements sur les 120 possibles doit être à peu près équivalente à (29 * 10 ^ 6 ) ^ 115, si je ne me trompe.
[5] Paradoxe du candidat (de Condorcet) qui fait le plus de voix au premier tour, mais que personne ne peut saquer en fait.
[6] Morbleu ! met d’ailleurs au défi ses lectrices de trouver, à partir des résultats passés de l’Eurovision, un système de vote permettant de rendre la France victorieuse avec les mêmes systèmes de préférences. Un bisou gratuit pour qui y arrive la première.

[amtap book:isbn=0300013647]